泰勒公式
函数在某点附近的多项式逼近
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公式展示
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)/2!(x-x0)²+...+f^(n)(x0)/n!(x-x0)^n+Rₙ(x)
x₀为展开点
字母含义
字母
含义
f^(n)(x₀)
f在x₀处的n阶导数
Rₙ(x)
余项(拉格朗日/佩亚诺)
x₀
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公式详解
泰勒公式用多项式逼近函数，是微积分中最重要的工具之一。x₀=0时称为麦克劳林公式。
拉格朗日余项
：Rₙ=f^(n+1)(ξ)/(n+1)!·(x-x₀)^(n+1)
佩亚诺余项
：Rₙ=o((x-x₀)^n)
常用展开(x→0)
：e^x=1+x+x²/2!+...，sinx=x-x³/3!+...，cosx=1-x²/2!+...
ln(1+x)
=x-x²/2+x³/3-...，(1+x)^α=1+αx+α(α-1)x²/2!+...
泰勒公式可用于求极限、近似计算、证明不等式
典型例题
例1：e^x展开
e^x在x=0处展开到3阶。
e^x=1+x+x²/2+x³/6+o(x³)
例2：求极限
lim(x→0)(x-sinx)/x³。
sinx=x-x³/6+o(x³)，原式=lim(x³/6)/x³=1/6
例3：近似计算
e^0.1≈1+0.1+0.01/2+0.001/6≈1.10517
常见误区与注意事项
余项形式
拉格朗日余项用于误差估计，佩亚诺余项用于求极限。
展开到足够阶
求极限时需展开到分子分母最低次项不抵消的阶数。
x₀=0是麦克劳林
泰勒公式在x₀=0时的特例叫麦克劳林公式。
常见问题
泰勒公式和麦克劳林公式什么关系？
麦克劳林公式是x₀=0时的泰勒公式。
泰勒公式余项有几种？
常用拉格朗日余项和佩亚诺余项。
怎么用泰勒公式求极限？
将函数展开到足够阶数，代入后消去低阶项，看最低阶系数比。
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